CALCULO VECTORIAL: Octubre

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO

La forma que existe para representare un plano depende de los componentes. Existe un sin número de planos que van desde 1 eje hasta infinitos ejes.
Para representarlos en R² se lo hace de la siguiente forma:

R x R = R²

                                  F(x,y) = 0    ------->   Función implícita de dos variables.

       i) y= f(x); donde la "y" es la variable dependiente y "x" es la variable independiente.
       ii) x=g(y);   donde la "x" es la variable dependiente y "y" es la variable independiente.

Geométricamente un F(x,y) = 0, representa una curva en en el plano.

      Ejemplo:    x² + y² = 3² -------> Ec. de la circunferencia centrada en el origen de radio 3.


                                           GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO

Para representarlos en cambio en R³, se lo hace de la siguiente forma:

                                                                 R x R x R = R³

   F(x,y,z) = 0    ------->   Función implícita de tres variables.
r→=ro+ta→

       i)   y= f(x,z); donde la "y" es la variable dependiente y "x";"z" son las variables independientes
      ii)   x= f(y,z); donde la "x" es la variable dependiente y "y";"z" son las variables independientes.
     iii)   z=f(x,y); donde la "z" es la variable dependiente y "x";"y" son las variables independientes

Geométricamente un F(x,y,z) = 0, representa una superficie en el espacio.

Ejemplo: x² + y² + z² = 5² -------> Ec. de la superficie esférica en centro en el origen
y de radio 5.

Si F(x,y,z) = 0 es de primer grado, entonces representa un plano en el espacio.

Ax + By + Cz + D = 0

Si F(x,y) = 0 representa una superficie en el espacio con generatriz paralela al eje "z".

          Sistemas de Funciones Implícitas:

   F(x,y,z) = 0 ;  G(x,y,z) = 0 ----> la intersección de dos superficies generan
curvas en el espacio.

LA RECTA EN EL ESPACIO

La ecuación de la recta se puede encontrar mediante los datos que nos presente el ejercicio.
Existen dos casos:

1°Caso:
Datos: Punto:

M o (r o - \to)

VectorDirector:

a \to = (l, m, n)

Demostrar: Ecuación de la recta.

Ecuación Vectorial de la Recta

                                                   Ecuaciones Paramétricas de la Recta

x = x o + t l

y = y o + t m

z = z o + t n

Ecuaciones Canónicas de la Recta

x - x o l = y - y o m = z - z o n

2°Caso:
  Datos:          Punto:

M 1 (r 1 - \to)

Punto:

M 2 (r 2 - \to)

Demostrar: Ecuación de la recta.

Ecuación Vectorial de la Recta

r \to = r 1 - \to + t (r 2 - \to - r 1 - \to)

       Ecuaciones Paramétricas de la Recta

x = x 1 + t (x 2 - x 1)

y = y 1 + t (y 2 - y 1)

z = z 1 + t (z 2 - z 1)

                                                        Ecuaciones Canónicas de la Recta

x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1

Distancia de un Punto a una Recta

La distancia de un punto, P, a una recta, r, es la menor de la distancia desde el punto a los infinitos puntos de la recta.

Esta distancia corresponde a la perpendicular trazada desde el punto hasta la recta.

Datos: Punto:

M 1 (r 1 - \to)

Recta:

L : r \to = r o + t a \to

Demostar:

d L, M 1

d = ∣ ∣ a * (r 1 - \to - r o - \to)^∣ ∣

Distancia entre dos Recta
Datos:

L 1 : r \to = r o 1 - \to - + t a 1 - \to

L 2 : r \to = r o 2 - \to - + t a 2 - \to

Demostrar:

d L 1, d L 2

d = (r o 2 - \to - - r o 1 - \to -) * a 1 - \to * a 2 - \to ∣ ∣ a 1 - \to * a 2 - \to ∣ ∣

El producto mixto geométricamente representa el volumen de un paralelepípedo cuyas aristas son los vectores involucrados en el producto mixto.

A \cdot (B - \to \times C - \to)

EL PLANO EN R³

Para encontrar la ecuación del plano depende de los datos que poseamos, aquí veremos varias formas:

n \to \cdot (r \to - r o - \to) = 0 ⟶ E c . v e c t o r i a l d e l p l a n o

A x + B y + C z + D = 0 ⟶ E c . g e n e r a l d e l p l a n o

A x + B y + D = 0 ⟶ E c . d e l p l a n o c o n p l a n o c o n g e n e r a t r i z p a r a l e l a a l e j e o z

A x + C z + D = 0 ⟶ E c . d e l p l a n o c o n p l a n o c o n g e n e r a t r i z p a r a l e l a a l e j e o y

B y + C z + D = 0 ⟶ E c . d e l p l a n o c o n p l a n o c o n g e n e r a t r i z p a r a l e l a a l e j e o x

C z + D = 0 ⟶ z = - D C ⟶ E c . p l a n o p a r a l e l o a l p l a n o x o y

B y + D = 0 ⟶ y = - D B ⟶ E c . p l a n o p a r a l e l o a l p l a n o x o z

A x + D = 0 ⟶ x = - D A ⟶ E c . p l a n o p a r a l e l o a l p l a n o y o z

Cuando es paralelo al producto punto = 0

x a + y b + z c = 1 ⟶ E c . s e g m e n t a r i a d e l p l a n o

x c o s α + y c o s β + z c o s γ - ρ = 0 ⟶ E c . n o r m a l d e l p l a n o u n i t a r i o

u = 1 A 2 + B 2 + C 2 - - - - - - - - - - - \sqrt ⟶ N o r m a l i z a c i ó n d e l a e c u a c i ó n g e n e r a l d e l p l a n o

El signo de u debe ser contrario al digno de D.

Desviación de un punto respecto de un plano

La desviación es (+) cuando el punto M y el origen de coordenadas están en lados opuestos del plano.
La desviación es (-) cuando el punto M y el origen de coordenadas están del mismo lado del plano.

Nota.- La desviación es perpendicular al plano.

Distancia entre un punto y un plano

Distancia es perpendicular al Plano
Distancia es paralela al Unitario

d = A x 1 + B y 1 + C z 1 + D A 2 + B 2 + C 2 - - - - - - - - - - - \sqrt

Plano determinado por 3 puntos
Se realiza una operación de producto de vectores mixto (producto cruz y producto punto), tomando en cuenta que el Producto mixto de 3 vectores es igual a cero, entonces son coplanares.
Geométricamente esta operación es el volumen de un paralelepípedo donde sus aristas son los tres vectores involucrados.

(r \to - r 1 - \to) ∙ [(r 2 - \to - r 1 - \to) \times (r 3 - \to - r 1 - \to)] = 0 ⟶ P r u d u c t o M i x t o

Recta determinada por dos planos

x - x 0 ∣ ∣ ∣ B 1 B 2 C 1 C 2 ∣ ∣ ∣ = y - y 0 ∣ ∣ ∣ C 1 C 2 A 1 A 2 ∣ ∣ ∣ = z - z 0 ∣ ∣ ∣ A 1 A 2 B 1 B 2 ∣ ∣ ∣

Observación.- Una recta corta a los 3 planos coordenados en algún punto.

Haz de Planos
Conjunto infinito de planos que pasan por una misma recta.

(A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1) + λ (A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2) = 0

n - \to - - = (A 1 + λ A 2) x; (B 1 + λ B 2) y; (C 1 + λ C 2) z ⟶ V e c t o r D i r e c t o r

Superficie Esférica

(r \to - r c - \to) 2 = R 2 ⟶ E c . v e c t o r i a l d e l a s u p e r f i c i e e s f é r i c a c o n c e n t r o e n e l o r i g e n

(x - x o) 2 + (y - y o) 2 + (z - z o) 2 = R 2 ⟶ E c . g e n e r a l d e l a s u p e r f i c i e e s f é r i c a

x 2 + y 2 + z 2 = R 2 ⟶ E c . c o n c e n t r o e n e l o r i g e n

Superficie de Segundo Orden

Son todos aquellos que se representan por:

A x 2 + B y 2 + C z 2 + D x y + E y z + F x z + G x + H y + K z + L = 0

Se denominan también cuádricas.
Escogiendo sistemas coordenados adecuados se puede simplificar su ecuación.

Elipsoide.- Llamamos elipsoide a la superficie que en un sistema cartesiano de coordenadas se determina por la ecuación:

Las secciones del elipsoide por planos paralelos a los planos coordenados son elipses.

En el caso particular de que alguno de los parámetros a, b, c se repita, las secciones elípticas se convierten en circunferencias y puede considerarse el elipsoide como engendrado por la rotación de la elipse alrededor de uno. de los ejes. En este último caso el elipsoide se llama entonces de revolución.

Si coinciden los tres parámetros a = b = c, nos encontramos con el caso de una esfera.

Hiperboloide de una hoja.- Llamamos hiperboloide de una hoja a la superficie que en un sistema cartesiano de coordenadas se determina por la ecuación:

cuádricas

Los parámetros a, b, c son los semiejes del hperboloide de una hoja. Si seccionamos la figura por planos paralelos al XOY, las secciones son elipses semejantes.

La elipse determinada por el plano XOY es la menor de todas las posibles y recibe el nombre de elipse de garganta. Si desarrollamos una sección por un plano que contenga al eje Z, se obtiene una hipérbola. En el caso de que coincidan dos de los parámetros, a = b, las secciones por planos paralelos al XOY son circunferencias con centro en el eje OZ. Podemos considerar en este caso que el hiperboloide está engendrado por la rotación de una hipérbola alrededor de uno de sus ejes.

Hiperboloide de dos hojas.- llamamos hiperboloide de dos hojas a la superficie que en un sistema de coordenadas cartesianas se determina por la ecuación:
cuádricas

que representa un hiperboloide de dos hojas sobre el eje Z.

Cuando el signo negativo antecede a cualquiera de los otros dos términos, el hiperboloide se encuentra sobre el eje coordenado que afecta.

Paraboloide elíptico.- Llamamos paraboloide elíptico a la superficie que en un sistema cartesiano de coordenadas se determina por la ecuación:

cuádricas

el punto que coincide con el origen de coordenadas se llama vértice del paraboloide. Puede ocurrir que la figura no coincida con el origen de coordenadas en el vértice; la ecuación toma entonces la forma:

Las secciones que se obtienen al cortar la figura por planos que contienen al eje OZ son parábolas y las que se obtienen al cortarla por planos que contengan al eje YO son elipses.

Paraboloide hiperbólico.- Llamamos paraboloide hiperbólico a la superficie que en un sistema rectangular de coordenadas se determina por la ecuación :

Esta figura se conoce con el nombre de silla de montar. Cuando la ecuación anterior toma la forma dada por la ecuación

la figura queda invertida.

Una cuádrica se llama degenerada cuando tiene por lo menos un punto singular. Un punto singular de una cuádrica es aquél para el que se anulan todos los coeficientes de la ecuación del plano tangente en dicho punto. Se tiene que si se anulan los coeficientes, toda recta que pase por dicho punto es tangente y, por lo tanto, no se puede hablar de plano tangente en dicho punto.
Una cuádrica degenerada pertenece, según tenga un punto singular propio o impropio a uno u otro (o ambos) de los dos tipos siguientes:

Conos cuádricos.- Llamamos cono cuádrico o cono de segundo orden a la superficie que en un sistema de coordenadas cartesianas se determina por cualquiera de las ecuaciones:

Cilindros cuádricos.- Podemos considerar varios tipos de cilindros cuádricos según que sus secciones paralelas al plano generatriz sean elipses, hipérbolas o parábolas.

En el primer caso tenemos el cilindro elíptico dado por la ecuación de la izquierda:

cuádricas

En el segundo caso se tiene el cilindro hiperbólico dado por ecuación de la derecha y en el tercer caso se obtiene el cilindro parabólico dado por cualquiera de las ecuaciones:

Para realizar su análisis se sigue el siguiente procedimiento:

Intersección con los ejes coordenados.
Intersección con los planos coordenados.
Intersección con los planos paralelos a los planos coordenados.
Trazado del bosquejo de la superficie de estudio.

ELIPSOIDE
Un elipsoide es una superficie curva cerrada cuyas tres secciones ortogonales principales son elípticas, es decir, son originadas por planos que contienen dos ejes cartesianos.

INTERSECCIÓN CON LOS EJES COORDENADOS

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

P 1 (a, 0, 0); P 2 (- a, 0, 0) \to C o n e l e j e o x

P 3 (0, b, 0); P 4 (0, - b, 0) \to C o n e l e j e o y

$${ P }_{ 5 }(0,0,c)\quad ;{ \quad P }_{ 6 }(0,0,-c)\quad \rightarrow \quad Con\quad el\quad eje\quad oz\quad$$

INTERSECCIÓN CON LOS PLANOS COORDENADOS

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \to E c . e l i p s e c e n t r a d a e n e l o r i g e n y s e m i e j e s a, b

x 2 a 2 + z 2 c 2 = 1 \to E c . e l i p s e c e n t r a d a e n e l o r i g e n y s e m i e j e s a, c

y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 \to E c . e l i p s e c e n t r a d a e n e l o r i g e n y s e m i e j e s b, c

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