Enero

Integrales de Linea 

Son similares a las integrales simples solo que en vez de integrar en un intervalo [a,b] se integra en una curva C.

Estas Integrales resuelven problemas relacionados con el flujo de fluidos, fuerzas, electricidad y magnetismo 

Antes de comenzar a resolver es necesario parametrizar la función:

∫f(x,y)=∫tftof(x(t),y(t))x˙2+y˙2−−−−−−√dt

Cuando se tiene los puntos inicial y final del segmento rectilineo la representación vectorial para la parametrización es:

f(t)=xo+t(xf−x0)
https://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_l%C3%ADnea

https://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_l%C3%ADnea 

Integrales de Linea en el espacio:

r(t)=x(t)i⃗ +y(t)j⃗ +z(t)z⃗ 

Entonces la integral de línea de f a lo largo de C, con respecto a la longitud de arco es:

∫f(x,y,z)=∫baf(x(t),y(t),z(t))(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√dt

Teorema Fundamental de las Integrales de Linea:

F=Pi⃗ +Qj⃗ +Rk⃗ 

∫∇f→dr⃗ =f(r⃗ (b))−f(r⃗ (a))

Debe ser un campo conservativo para eso cumple que:
∂P∂y=∂Q∂x;∂Q∂z=∂R∂y;∂P∂z=∂R∂x


Campos Vectoriales 

un campo vectorial se define como un vector en dimensión n, dicho vector posibilita la descomposición de dicho campo en distintos vectores, con la ayuda de una función.

figura 1: Campo vectorial.

                                         

INTEGRAL DE LINEA EN UN CAMPO VECTORIAL
 

La integral de linea en un campo vectorial se obtiene de la integral de el producto punto entre el vector de la funcion primaria evaluada en su vector parametrizado y el gradiente del vector parametrizado:

Ejemplos:

http://www.ing.uc.edu.ve/~amejias/Archivos_pdf/int_lin_intlincv.pdf

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO:

El teorema nos dice que podemos evaluar la integral de línea de un campo vectorial conservativo ( el campo vectorial gradiente de la función potencial f) con solo conocer el valor de "f" en los extremos de C. De hecho el teorema nos expresa que la integral de línea de EL GRADIENTE DE LA FUNCION es el cambio total de "f". Si "f" es una función de dos variables y C es una curva plana con punto inicial A(X1, Y1) y punto final B(X2 , Y2), entonces el teorema se convierte en:

para definir si el campo es conservativo se debe seguir el siguiente procedimiento:

1. Según el numero de componentes que tenga el campo vectorial derivar parcialmente con respecto a las variables restantes.
2. hacer esto con cada una de las variables.
3. comprobar si todas las derivadas parciales son iguales.
4. Dado un caso positivo se hará la la integral de cada variable con su respectivo eje y la constante característica sera en función de las demás variables.
5. Comparar e igualar todas las ecuaciones.
6. Se comparará la repuesta sacando el gradiente de la función obtenida y esta será igual a la funcion que inicialmente se analizó. 

DEPENDENCIA O INDEPENDENCIA DE LAS INTEGRALES DE LINEA:

Una cuestion  que se debe plantear e relación a las integrales de linea y superficie es si dependen de la parametrización elegida r y s.

La respuesta será diferente para ampos escalares y vectoriales.

• La integral de linea y de superficie de campos escalares son independientes de la parametrización elegida.

• La integral de linea de un campo vectorial dependerá de la orientación elegida.

                                                       

TEOREMA DE GREEEN

Las condiciones para que se cumpla este teorema son que la curva analizada sea cerrada y que la dirección en la que se analiza la curva debe ser antihoraria (dirección positiva).

ROTACIONAL:

El rotacional de un Campo vectorial es un proceso de mayor confianza para saber si un campo vectorial es conservativo o no, el proceso se detalla en lo siguiente:

si el rotacional es igual a cero significa que el campo es conservativo.

 

https://campusvirtual.ull.es/ocw/pluginfile.php/3961/mod_resource/content/1/tema2/9-ilinea.pdf

 

DIVERGENCIA y ROTACIONAL

La divergencia se define como el producto escalar de un gradiente por un campo vectorial F. Este resultado mide la diferencia entre el flujo entrante y el saliente de dicho campo vectorial.

 

 

 

http://www.ual.es/~plopez/docencia/ita/EVA_trasptema9.pdf