Noviembre

TIPOS DE CURVATURA 

Curvatura de Flexión.- Se econsidera a la cuevatura de flexión como la razón de cambio delos puntos de la curva respecto a la longitud de arco.

k=limΔs→oΔθΔt=∥∥∥∥dT→ds∥∥∥∥

k⃗ =dT^ds

dT^ds=kN^

ρk=1k→radiodecurvatura

Curvatura de Torsión: La curva de torsión nos indica el alejamiento o acercamiento del plano osculador a la curva, se define:

τ=limΔs→oΔϕΔs=−∥∥∥dB^ds∥∥∥

τ=−dB→ds

dB^ds=τN^

ρτ=1τ→radiodecurvaturadetorsión

FUNCIONES DE DOS O MÁS VARIABLES

El dominio de estas funciones es un vector de n componentes y su rango es un número de los conjuntos de los reales.

f:Rn→R(x1,x2,...,xn)→z=f(x1,x2,..,xn)

• Si f(x,y)=z, el gráfico en R³ es una superficie.
• El dominio de la función f(x,y) será una región del plano XOY o todo el plano XOY.
• El rango o recorrido de f(x,y) es un conjunto de los escalares  z que pertenece a los reales.
• A la gráfica f(x,y,z)=w no se puee representar en R³ pero seria una hipersuperficie. Solo se puede representar en  el dominio de la función.

Dominio o Campo de existencia:

Para una funnción f(x,y) el dominio son todos los valores que cumplan con las condiciones que se tenga dependiendo de cada función.

Se debe realizar tres análisis

1.- Análisis matemático: Encontramos el dominio de manera analítica mediante inecuaciones.

2.-Análisis Gráfico.- Aplicamos lo solucionado anteriormente, se puede graficar primero en un plano cartesiano y de ahí aplicarlo en R³ o directamente en R³.

3.- Análisis Descriptivo.- Se describe el dominio en conclusión al gráfico y al análisis matemático.

Recorrido o rango de una función: es el conjunto formado por las imágenes. Son los valores que toma la función "y" variable dependiente, por eso se denomina f(x), su valor depende del valor que le demos a "x". Graficamente lo miramos en el eje OY de ordenadas, leyendo de abajo a arriba.

CURVAS DE NIVEL

Una curva de nivel es aquella línea que en un mapa une todos los puntos que tienen igualdad de condiciones y de altura. Las curvas de nivel suelen imprimirse en los mapas en color siena para el terreno y en azul para los glaciares y las profundidades marinas. 

Las curvas de nivel de una función f(x,y) son las curvas cuyas ecuaciones f(x,y)=k, donde k es una constante(en el rango de f).

En el gráfico los valores: 300, 200, 100 y 0 son diferentes valores que toma k.

NOTA:

Si f(x,y,z)=k se generan las superficies de nivel

Si f(x,y,z,w)=k entonces se generan las hipersuperficies de nivel

 LÍMITES Y CONTINUIDAD

Si la función  tiene límite  en  podemos decir de manera informal que la función  tiende hacia el límite  cerca de  si se puede hacer que  esté tan cerca como queramos de haciendo que  esté suficientemente cerca de  siendo  distinto de .
Esto, escrito en notación formal:

 Se sigue la misma definición de límite que tenemos en las funciones de una variabe.

lim(x,y)→(xo,yo)f(x,y)=L↔∀ε>0,∃δ>O

|f(x,y)−L|<ε→|(x,y)−(xo,yo)|<δ

Donde:

(x−xo)2+(y−yo)2−−−−−−−−−−−−−−−−√<δ

Esta definición se aplica para cualquier punto que se acerque al punto cero por cualquier lado o ruta , formándose un entorno de acercamiento en forma de una circunferencia de radio delta.
Para que exista este límite se debe cumplir la teoría de existencia y unicidad, al calcular los límites de la función por distintas trayectorias se debe llegar a la conclusión de que todos son del mismo valor.
Para encontrar o demostrar que el límite existe, hay diferentes formas (por la complejidad al existir varias trayectorias de aproximación).

• Aplicando la definición de Limite: Mediante este método se requiere lograr que la ecuación de la función llegue a la forma:

(x−xo)2+(y−yo)2−−−−−−−−−−−−−−−−√<δó|f(x,y)−L|<ε

• Asignando valores a x ^ y: Se da valores a x ó y tomando en cuenta las diferentes ecuaciones de curvas que se pueden aproximar a la función.
• Por coordenadas Polares: Se da valores a  x^y en función de un angulo y un radio.

x=rcosθ∧y=rsenθ

Donde r es el que tiende a cero, es recomendable usar este tipo de cambio cuando estan elevados a exponentes pares, las variables.

CONTINUIDAD:

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. Que el punto x = a tenga imagen.

2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.

3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.

Una función f(x,y)=z, se dice que es continua si cumple una condición:

lim(x,y)→(xo,yo)f(x,y)=f(xo,yo)

Teniendo en claro que:
Exista

f(xo,yo)

Exista el límite de esta función
Si no cumple, entonces es discontinua y si es así puede ser evitable y se la re definiría o inevitable.
Son continuas evitables si:

∄f(x0,y0)∧∃lim(x,y)→(x0,y0)f(x,y)∃lim(x,y)→(x0,y0)f(x,y)≠f(x0,y0)

Son continuas inevitables si:

∄lim(x,y)→(x0,y0)f(x,y)

Las funciones de dos variables presentan curvas de discontinuidad.

                                                          DERIVADAS PARCIALES 

En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.

La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:

Donde  es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'.
Cuando una magnitud  es función de diversas variables (,,,), es decir:

Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite obtener la pendiente de la recta tangente a dicha función  en un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el eje z.
Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.

Las derivadas parciales de dos variables al igual que en el de una variable en un límite:

∂f∂x=limh→0f(x+h,y)−f(x,y)h∂f∂y=limh→0f(x,y+h)−f(x,y)h

Existe el mismo numero de derivadas parciales que de variables independientes.

Interpretación Física:
Las derivadas parciales fisicamente representan una razón de cambio, cuando varia f si "x" 
varia manteniendo fija a "y" o cuanto varia "y" si se mantiene constante a "x"

Interpretación Gráfica:

La derivada con respecto a x, es la pendiente de la recta tangente de la curva APB que se puede observar en la figura.

Ecuación del plano tangente a la superficie z=f(x,y)en un punto P.

n⃗ =(∂f∂x(x0,y0),∂f∂y(x0,y0),−1)

fx(x−x0)+fy(y−y0)−1(z−z0)=0

                                       DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Si f es una función de dos variables, entonces sus derivadas parciales también son funciones de dos variables, de modo que podemos considerar a sus derivadas parciales, las cuales se llaman segundas derivadas parciales de f. 

En R²

Así, si   f:D⊆ ℝ 2 →ℝ   es una función de dos variables que tiene derivadas parciales respecto de x y de y en todos los puntos de D, quedan definidas dos nuevas funciones   f x , f y :D⊆ ℝ 2 →ℝ .

Si las derivadas parciales de estas funciones existen se pueden definir las derivadas parciales de orden 2.

f′(x)=dydxf′′(x)=ddx[dydx]fn(x)=ddx[dn−1ydxn−1]

 Existen 2 a la n derivadas de orden "n".

∂f∂x→∂∂x[∂f∂x]=∂2f∂x2∧∂∂y[∂f∂x]=∂2f∂y∂x

∂f∂y→∂∂y[∂f∂x]=∂2f∂y∂x∧∂∂y[∂f∂y]=∂2f∂y2

Cumple esta igualdad di f(x,y) es continua:

∂2f∂y∂x=∂2f∂x∂y

En 4 dimensiones:

(x,y,z) -> w= f(x,y,z)

∂f∂x→∂∂x[∂f∂x]=∂2f∂x2,∂∂y[∂f∂x]=∂2f∂y∂x∧∂∂z[∂f∂x]=∂2f∂z∂x

∂f∂y→∂∂y[∂f∂x]=∂2f∂y∂x,∂∂y[∂f∂y]=∂2f∂y2∧∂∂z[∂f∂y]=∂2f∂z∂y

∂f∂z→∂∂y[∂f∂z]=∂2f∂y∂z,∂∂z[∂f∂z]=∂2f∂z2∧∂∂x[∂f∂z]=∂2f∂x∂z

• Existen 3 (n) derivadas parciales de orden "n"

Las derivadas parciales aparecen en ciertas ecuaciones diferenciales que expresan leyes físicas, tales como: La ecuación unidimensional del calor:

ut=k∂2u∂x2

DERIVADA DIRECCIONAL 

Se llama derivada direccional de la función z = f(x,y) en un punto P(x,y) en el sentido del vector el siguiente límite si existe y es finito:

Para calcular este límite se toma el vector unitario de la dirección del vector (dividiéndolo por su módulo). Llamamos t a la longitud del vector , es decir,con lo cual , de donde , y el límite se reduce a la única variable t

Si la función f(x, y) es diferenciable, entonces la derivada direccional se calcula por la fórmula:

(es decir la suma de los productos de las parciales por las componentes del vector unitario)

Si la función es de tres variables z=f(x, y, z) la derivada direccional se calcula de manera análoga:

(Las parciales habrá que calcularlas en el punto correspondiente. Las componentes del vector unitario coinciden con los cosenos directores del vector director. Si la función no es diferenciable esta fórmula no es válida y hay que calcular el límite anterior).

Se llama gradiente de una función z = f(x, y) en un punto P(x, y) al vector que sale del punto P y sus componentes son las derivadas parciales de la función en dicho punto

La derivada direccional se puede obtener como el producto escalar del gradiente por el vector unitario (si la función es diferenciable)

El gradiente indica el sentido de crecimiento más rápido de una función en un punto dado. La derivada direccional tiene su valor máximo en el sentido del gradiente y coincide con su módulo:

Si la función es de tres variables u = f(x, y, z) el gradiente se define de forma análoga: