Diciembre

  Máximos y mínimos

  Si f está una función de x y y, entonces f tiene un máximo relativo a (a, b) si f(a, b) ³ f(x, y) para toda (x, y) en una pequeña cercanía de (a, b). Un mínimo relativo se define en manera parecida. f tiene un punto de silla en (a, b) si ftiene allí un mínimo relativo a lo largo de un corte y un máximo relativo a lo largo de un otro corte.
La función que se ilustra mas abajo tiene un mínimo relativo a (0, 0), un máximo relativo a (1, 1), y puntos de silla a (1, 0) y (0, 1).
En los casos que estudiamos, todos extremos relativos y puntos de silla que no sean en la frontera del dominio de f se ocurren a puntos críticos, que son las soluciones de las ecuaciones
fx(x,y) = 0
y
fy(x,y) = 0.
Prueba de segunda derivada para funciones de dos variables 
Si f(x, y) está una función de dos variables, y (a, b) es un punto crítico de f. (Esto es, fx(a, b) = 0 y fy(a, b) = 0.) Suponga también que existen y son iguales las derivadas del segundo orden, de modo que, por teoremas de cálculo,fxy es igual a fyx. Sea
H = fxx(a, b)fyy(a, b) -[fxy(a, b)]2.
Entonces
    f tiene un mínimo relativo a (a, b) si H > 0 y fxx(a,b) > 0,
    f tiene un máximo relativo a (a, b) si H > 0 y fxx(a,b) < 0, y
    f tiene un punto de silla a (a, b) si H < 0.
Si H = 0 la prueba no dice nada, entonces necesitamos analizar la gráfica para buscar más información.

 http://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm8.html
Multiplicadores de Lagrange 

  Para determinar los valores máximos y mínimos de f(x,y,z) sujeta a la restricción g(x,y,z)=k
Determinar todos los valores de x,y,z y \lambda tal que:

\bigtriangledown f(x,y,z) = \lambda \bigtriangledown g(x,y,z)
g(x,y,z) = k

Evalúe f en todos los puntos (x,y,z) que resulten del primer paso. El mas grande de estos valores es el valor máximo de f; el más pequeño es el valor mínimo de f.
 EJEMPLO
Una caja rectangular sin tapa se hace con 12 m^{2} de cartón. Calcule el volumen máximo de esta caja.

Buscamos maximizar:
V = xyz
con restriccion:
g(x,y,z) = 2xz + 2yz + xy = 12

ahora aplicamos lo que nos dice el metodo de los multiplicadores de Lagrange.
\bigtriangledown V = \lambda \bigtriangledown g
g(x,y,z) = 12

 Entonces:
V_{x} = \lambda g_{x}
V_{y} = \lambda g_{y}
V_{z} = \lambda g_{z}
2xz + 2yz + xy = 12


Las cuales se transforman a la hora de igualar y aplicar el método en:

yz = \lambda (2z + y)
xz = \lambda (2z + x)
xy = \lambda (2x + 2y)
2xz + 2yz + xy = 12


Una forma conveniente de resolver el sistema anterior es dejar del lado izquierdo xyz por lo tanto la primera la multiplicamos por x la segunda por y y la tercera por z, quedaría de la siguiente manera:

xyz = \lambda (2xz + xy)
xyz = \lambda (2yz + xy)
xyz = \lambda (2xz + 2yz)

 Esto quiere decir que tenemos igualdades por lo tanto:
2xz + xy = 2yz + xy
2yz + xy = 2xz + 2yz
de la segunda ecuación sabemos que:
xy = 2xz entonces: y = 2z . Si se hace x = y = 2z sustituimos en la ecuación:
2xz + 2yz + xy = 12

y nos quedaría de la siguiente manera:
4z^{2} + 4z^{2} + 4z^{2} = 12

Por lo tanto z = 1
entonces: y = 2 y x = 2.

Lee mas en : Multiplicadores de Lagrange, por WikiMatematica.org
wikimatematica.org

Integrales Multiples 

 En calculo de una variable se aprendio que la integral de una función dentro de un intervalo (a,b) representa el area bajo la curva de dicha función.
Para dunciones de 2 variables la inegral representa el volumen bajo la superficie y sobre la region que se esta trabajando.

Tipos de regiones de integración

 al momento de integrar se pueden presentar tres casos distintos
  1. Regiones Rectangulares.
  2. Regiones más generales.
  3. Regiones generales. 
  1. Regiones Rectangulares; 
En este tipo de regiones como  su nombre lo dice tienen la forma de un rectangulo, es decir tanto el eje x como  el eje y son constantes  y  los limites consecuentemente serán constantes.
Cabe recalcar que el orden en el que se desarrolle la integral no importa es decir, se puede comenzar con dx o con dy segun cual sea el camino más facil.
Regiones más generales.
En las regiones más generales se tienen dos partes, en un eje pasará lo anterior osea que sera una constante, mientras que en el otro será una funcion que no sera una recta.
Para resolver este tipo de regiones primero se desarrollara la de tipo variable y  luego la de tipo  constante, es decir los limites de la integral que esta más adentro seran funciones  y  los limites de la integral exterior seran constantes.
Cuando la función variable esta en función de x  y  la constante estará en el eje y:
Cuando la función variable esta en función de y  y  la constante estará en el eje x:
Regiones Generales:
En este caso la zona de trabajo ya  no  tendrá ninguna constante es decir en los dos ejes hay funciones variables .
El orden de resolución no importa ya que las dos son variables  y  el resultado seria el mismo.
El proceso de resolución  se realizara con  un cambio de variables y mediante la utilización del la matriz jacobiana.
DETERMINANTE JACOBIANA:
La determinante jacobiana se puede aplicar en funciones de cualquier número de variables independientes.

  http://rodas.us.es/file/7cbe1663-15a4-35e1-308e-dafe50bbc603/2/tema7_ims_scorm.zip/page_06.htm

 Cambio de Variable
Hay tres tipos de cambios de variable que son:
Coordenadas polares: Se las utiliza cuando  la región analizada es una circunferencia.
Coordenadas polares
Coordenadas Cilíndricas: Se las utiliza cuando la función analizada esta en el espacio y dos de sus variables están elevadas al cuadrado.
Coordenadas cilindricas
Coordenadas esféricas: Se la utiliza cuando la función esta en el espacio y las tres variables están elevadas al cuadrado.
Coordenadas esfericas
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DOBLE:

Centro de Masa
Centro de masa es el punto donde se concidera se concentra toda la masa de un cuerpo.


1. Caso Discreto
Se da cuando se tienen pocos puntos de referencia, por lo que se puede encontrar el centro de masa fácilmente: 

2. Si es un caso donde hay "n" masas:
En este caso, simplemente se generaliza la fórmula anterior, haciendo uso de la sumaroria.

3. Caso Continuo:
Cuando el numero de masas tiende al infinito.


1. Distribución de masa lineal
Cuando se tiene un cuerpo con una sola dimensión, se puede definir la siguiente igualdad
2. Distribución de masa superficial
Si se tiene un cuerpo de dos dimensiones, se utiliza un diferencial de área, y se define la siguiente igualdad:
3. Distribución de masa volumétrica
Cuando se tiene un cuerpo sólido de 3 dimesiones, para lo que se usa un diferencial de volumen, y se forma la igualdad:

 

 https://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/CALCULO-INTEGRAL/La-integral-definida-y-el-centro-de-masa-de-una-lamina-conceptos


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